分布积分公式：

$$ \int udv=uv-\int vdu $$

• 优先级：

$$ e^{x}>sinx,cosx>x^{n} $$

推导：

对于$\int f(x)g(x)$进行分部积分：

第一次：

令:

$$ u=f(x) , dv=g(x)dx $$

则有：

$$ du=f^{'}(x)dx $$

$$ v=\int g(x)dx=G(x) $$

带入原式：

$$ \int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int G(x)f^{'}(x)dx $$

也可以表示为：

$$ \int f(x)g(x)=f(x)[\int g(x)dx]-\int[\int g(x)]f^{'}(x)dx $$

第二次：

令：

$$ u=f^{'}(x),dv=G(x)dx $$

则有：

$$ du=f^{''}(x),v=\int G(x)dx=\iint g(x) $$

带入原式：

$$ \int f(x)g(x)=f(x)[\int g(x)dx]-f^{'}(x)[\iint g(x)dx]+\int [\iint g(x)dx]f^{''}(x)dx $$

对比第一次与第二次可以发现：

1. 选出求导和积分以后，求导的就一直求导，积分的就一直积分。

2. 相乘的项，求导总是比积分的次数少一（求导总是比积分少一阶）

   $f(x)$是0次求导，与它相乘的是$\int g(x)dx$是1次积分后的结果

   第n-1项可以记作：

   $$ f^{(n)}(x)\int^{n-1} g(x) $$

3. 连接不同项的符号一直是：$+-+-+-……$

4. 最后剩下的积分项（最后一项）中的求导次数与积分次数相同

   第n次分部积分的最后一项：

   $$ \int [\int^{n}g(x)]f^{(n)}dx $$

归纳出：

对$\int f(x)g(x)$进行n次分部积分后：

$$ \int f(x)g(x)=f(x)[\int g(x)dx]-f^{'}(x)[\iint g(x)dx]+…+(-1)^{n}\int[\int ^{n}g(x)]f^{(n)}(x)dx $$

　列表法使用

对于：

$$ \int f(x)g(x)dx $$

先列表：

有：

$$ \int f(x)g(x)dx=A_0*B_1+A_1*B_2-A_2*B_3 …… $$

当求导时候出现０就可以停止了，比如：

对于：

$$ \int f(x)g(x)dx $$

先列表：

就有：

$$ \int f(x)g(x)=f(x)[\int g(x)dx]+f^{'}(x)[\iint g(x)dx]-f^{''}[\iiint g(x)dx ] $$

可以知道：求导的函数乘以斜下方的积分就可以得到相对应的项。

由此我们可以推导出使用条件：

1. 某一个函数能求导到零（$x^n$）
2. 另外一个函数能够很容易求多次积分（一般是$e^x$或者是三角函数）

列表法的特殊使用（部分列表）

对于某些函数反复求导和积分后出现循环，比如：

$$ \int e^x sin x dx $$

列表：

可以看到，在第四次积分求导中出现了循环出现的部分：

那么我们就可以写：

$$ \int e^xsinx=A_0*B_1+A_1*B_x-A_2*B_3+A_3*B_4-\int B_4*A_4dx $$

最后一行出现了平行相乘的部分。

其实就是：

$$ \int e^xsinx=e^xsinx+e^xcosx-e^x(-sinx) +e^x(-cosx) -\int e^xsinxdx $$

可以发现最后一项与左边相同，移项后可以得到：

$$ 2\int e^xsinx=e^xsinx+e^xcosx+e^xsinx-e^xcosx $$

我们就可以求得：

$$ \int e^{x}sinx=\frac {e^xsinx+e^xcosx+e^xsinx-e^xcosx}{2} $$

$$ \int e^{x}sinx=e^xsinx $$

使用部分列表的使用条件：

1. 要么一个函数求导之后不变，另一个函数积分之后函数形式循环（积分和求导的函数可交换）

2. 要么两个函数积分和求导都循环